如果你因合理理由请假，美容院以请假影响工作进度为由直接拒绝你的申请可能不合法。根据《劳动法》的相关规定，员工有因病或其他正当事由请假的权利，美容院应当考虑员工的请假需求，并尽量协商安排。若美容院未经协商直接拒绝并因此解除劳动合同，则可能构成违法，你可以通过劳动仲裁等方式维护自己的合法权益。
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面对美容院的请假审批，你可：1.提前与美容院沟通，说明请假原因及时间，尽量协商达成一致；2.若美容院拒绝，可提供医生证明或其他正当理由的证明材料；3.若美容院仍拒绝且处理不当，可考虑通过法律途径维护自身权益。
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从法律角度，你可：1.明确自己的请假权利，依据《劳动法》等法律规定与美容院沟通；2.保留请假申请记录及美容院回复的证据；3.若美容院违法处理，可申请劳动仲裁，要求支付赔偿金；4.必要时，可咨询律师或法律援助机构。